量子纠缠现象背后的数学原理：线性代数在量子力学中的基础性作用

量子纠缠现象的本质可以通过线性代数（特别是向量空间、张量积和基变换等概念）得到精确的数学描述。以下是线性代数在理解量子纠缠中基础性作用的详细解析：

1. 量子态：向量与希尔伯特空间

• 数学基础： 量子系统的状态由希尔伯特空间（完备的内积空间）中的单位向量表示，称为态矢量，记作 |ψ>（狄拉克符号）。
• 单粒子示例： 一个量子比特（qubit）的状态空间是二维复希尔伯特空间，其标准基为 |0> = [1, 0]ᵀ 和 |1> = [0, 1]ᵀ。任意态可表示为： |ψ> = α|0> + β|1>，其中 α, β ∈ ℂ 且 |α|² + |β|² = 1。

2. 复合系统：张量积空间

• 数学基础： 由系统 A 和 B 组成的复合系统，其状态空间是各自希尔伯特空间的张量积：ℋ_{AB} = ℋ_A ⊗ ℋ_B。
• 维度： 若 dim(ℋ_A) = m, dim(ℋ_B) = n，则 dim(ℋ_{AB}) = m × n。
• 基的构造： ℋ_{AB} 的标准基由 {|i>_A ⊗ |j>_B} 构成（i=1..m, j=1..n）。例如，两个量子比特的基为： |0>⊗|0>, |0>⊗|1>, |1>⊗|0>, |1>⊗|1>。

3. 可分离态与纠缠态

• 可分离态： 若复合系统状态可写成单粒子态的张量积形式： |ψ_{AB}> = |ψ_A> ⊗ |ψ_B>， 则称为可分离态。此时 A 和 B 的状态独立。
• 纠缠态： 若 |ψ_{AB}> 无法写成上述形式，则称为纠缠态。这是量子纠缠的核心特征。

数学判据：施密特分解

对任意纯态 |ψ_{AB}>，存在正交基 {|u_i>_A} 和 {|v_i>_B} 及系数 λ_i ≥ 0，使得： |ψ_{AB}> = Σ_{i=1}^d λ_i |u_i>_A ⊗ |v_i>_B，其中 Σ λ_i² = 1。

• 纠缠的量化：
  • 施密特秩 (d)： 非零 λ_i 的个数。
    • d = 1 → 可分离态（|ψ_{AB}> = |u_1>⊗|v_1>）。
    • d > 1 → 纠缠态。
  • 熵纠缠度： E(ψ) = -Σ λ_i² \log_2 λ_i²，d>1 时 E > 0。

4. 贝尔态：典型纠缠态

以下是最简单的两量子比特纠缠态（贝尔基），它们无法分解为单粒子张量积：

贝尔态 向量表示 (计算基) 施密特分解 |Φ⁺> = (|00> + |11>)/√2 [1/√2, 0, 0, 1/√2]ᵀ λ₁=λ₂=1/√2，d=2 |Φ⁻> = (|00> - |11>)/√2 [1/√2, 0, 0, -1/√2]ᵀ 同上 |Ψ⁺> = (|01> + |10>)/√2 [0, 1/√2, 1/√2, 0]ᵀ 同上 |Ψ⁻> = (|01> - |10>)/√2 [0, 1/√2, -1/√2, 0]ᵀ 同上

纠缠性证明（以 |Φ⁺> 为例）： 假设存在 |ψ_A> = a|0> + b|1>, |ψ_B> = c|0> + d|1>，则： |ψ_A>⊗|ψ_B> = ac|00> + ad|01> + bc|10> + bd|11>。 要求其等于 (1/√2)|00> + (1/√2)|11>，需满足： ac = 1/√2, ad = 0, bc = 0, bd = 1/√2。 由 ad=0 和 bc=0 推出 a=0 或 d=0，以及 b=0 或 c=0，均导致矛盾（如 a=0 则 bd=1/√2 但 ac=0≠1/√2）。故 |Φ⁺> 不可分离。

5. 测量与关联

• 局部测量： 对子系统 A 的测量由厄米算子 M_A ⊗ I_B 描述。若系统处于纠缠态 |ψ_{AB}>，测量 A 会：

• 以概率 p_i 得到结果 i，
• 使 B 瞬间坍缩到与 i 对应的态 |ψ_B^{(i)}>（即使 A、B 空间分离）。

• 数学描述： 设 A 的测量算子对应本征态 {|k>_A}，则：

  • 结果 k 的概率：p_k = <ψ_{AB}| (|k><k|_A ⊗ I_B) |ψ_{AB}>
  • B 的坍缩后态：|ψ_B^{(k)}> = (_A<k|⊗I_B |ψ_{AB}>) / √p_k

示例（|Φ⁺> 态中测量 A）：

• 测 A 得到 0 的概率：p_0 = |<00|Φ⁺>|² + |<01|Φ⁺>|² = |1/√2|² + 0² = 1/2
  此时 B 的态：(_A<0|⊗I_B)|Φ⁺>/√p_0 = (|0>_B)/√(1/2) * (1/√2) = |0>_B
• 类似地，测 A 得 1 时，B 必定为 |1>。

6. 纠缠与酉演化

• 操作独立性： 局部门（U_A ⊗ I_B 或 I_A ⊗ U_B）无法产生或消除纠缠。
• 纠缠门： 非局部门（如 CNOT）可生成纠缠：CNOT = |0><0|⊗I + |1><1|⊗X （X 是比特翻转） CNOT(|+>⊗|0>) = CNOT( (|00> + |10>)/√2 ) = (|00> + |11>)/√2 = |Φ⁺>

  线性代数体现： CNOT 在 |00>, |01>, |10>, |11> 基下的矩阵为：

  [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 1 0]

  作用在可分离态 [1/√2, 0, 1/√2, 0]ᵀ 上得到纠缠态 [1/√2, 0, 0, 1/√2]ᵀ。

7. 密度矩阵描述

• 纯态： ρ = |ψ><ψ|（投影算子）。
• 纠缠的判据（部分迹）：
  • 对可分离态 ρ_{AB} = ρ_A ⊗ ρ_B，有 tr_B(ρ_{AB}) = ρ_A。
  • 对纠缠态，约化密度矩阵 ρ_A = tr_B(ρ_{AB}) 是混合态（Tr(ρ_A²) < 1）。
    示例： ρ_{Φ⁺} = |Φ⁺><Φ⁺|，则
    ρ_A = tr_B(ρ_{Φ⁺}) = \frac{1}{2}|0><0| + \frac{1}{2}|1><1| = \frac{I}{2}，
    其纯度 Tr(ρ_A²) = 1/2 < 1，表明 A 单独处于最大混合态。

结论

量子纠缠的本质是复合希尔伯特空间中态矢量的不可分性，其数学核心是：

张量积空间（ℋ_A ⊗ ℋ_B）的构造， 施密特分解对纠缠的判定与量化， 测量算符（M_A ⊗ I_B）与部分迹（tr_B）对子系统的描述， 酉算子（尤其是非局部门）对纠缠的操控。

线性代数提供了描述量子态、演化、测量及关联的精确框架。量子纠缠的非经典特性（如非定域关联）正是希尔伯特空间结构和张量积性质的直接体现，彰显了线性代数在量子力学中的基础性地位。